【#已知抛物线\(E\)：\(y^{2}=4x\)焦点为\(F\) 准线为\(l\) \(P\)为\(l\)上任意点\(.\)过\(P\)作\(E\)的两条切线 切#】

1、解：\((1)\)由已知可知：抛物线\(y^{2}=4x\)焦点为\(F(1,0)\)，

2、\(∴P(-1,0)\)，

3、设\(PQ\)：\(y=k(x+1)\)，

4、\(∴ \begin{cases} y^{2}=4x \\ y=k(x+1)\end{cases}\)，整理得：\(k^{2}x^{2}+(2k^{2}-4)x+k^{2}=0\)，\(①\)

5、由\(\triangle =0\)，即\((2k^{2}-4)^{2}-4⋅k^{2}⋅k^{2}=0\)，

6、解得：\(k=±1\)，

7、代入\(①\)求得\(x=1\)，\(y=±2\)，

8、\(∴\)切点分别为\(Q\)和\(R\)坐标为\((1,±2)\)，

9、\(∴|QR|=4\)；

10、\((2)\)证明：由对称性可知：该点必在\(x\)轴上，设\(M(m,0)\)，

11、设\(Q( \dfrac {1}{4} y_{ 0 }^{ 2 },y_{0})\)，\(P(-1,t)\)，则切线为\(yy_{0}=2x+ \dfrac {1}{2} y_{ 0 }^{ 2 }\)，

12、\(∴t= \dfrac {1}{2}y_{0}- \dfrac {2}{y_{0}}\)，

13、由题意可知：\( \overrightarrow{MP}⋅ \overrightarrow{MQ}=0\)，即\((m- \dfrac {1}{4} y_{ 0 }^{ 2 })(m+1)+y_{0}⋅( \dfrac {1}{2}y_{0}- \dfrac {2}{y_{0}})=0\)，

14、整理得：\((m^{2}+m-2)+ \dfrac {1}{4} y_{ 0 }^{ 2 }(1-m)=0\)

15、\(∴m=1\)，

16、\(∴\)恒过点\(M(1,0)\)．

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