卡方分布是一种重要的概率分布，在统计学中有着广泛的应用。它主要用于检验数据的拟合程度以及独立性测试等场景。卡方分布的公式定义为：

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]

其中，\( O_i \) 表示第 \( i \) 个类别的观察频数，\( E_i \) 是对应的期望频数，\( k \) 是类别的总数。这个公式描述了实际观测值与理论期望值之间的偏差平方和，用以衡量两者的一致性。

卡方分布的概率密度函数为：

\[ f(x; k) = \frac{x^{(k/2)-1} e^{-x/2}}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} \]

这里 \( x \geq 0 \)，\( k \) 是自由度，\( \Gamma \) 是伽马函数。自由度 \( k \) 决定了分布的具体形态，随着 \( k \) 的增加，分布逐渐趋于正态分布。

卡方分布的应用非常广泛。例如，在假设检验中，当我们想要验证一个样本是否符合某种分布时，可以使用卡方拟合优度检验。此外，在列联表分析中，卡方独立性检验可以帮助我们判断两个变量之间是否存在关联。

总之，卡方分布不仅是统计学中的基本工具之一，也是科学研究和社会调查中不可或缺的一部分。通过理解和运用卡方分布及其相关公式，我们可以更有效地处理数据并得出科学合理的结论。