向量是高中数学中一个非常重要的概念，它不仅在解析几何中有着广泛的应用，也是物理等学科的基础。理解并掌握向量的相关公式对于学生来说至关重要。下面，我将介绍一些高中阶段常用的向量公式。

一、基本定义

- 向量的表示：向量可以用有向线段来表示，也可以用坐标形式表示。在二维空间中，向量 \(\vec{a}\) 可以表示为 \((x, y)\)，在三维空间中则可以表示为 \((x, y, z)\)。

- 零向量：所有分量均为0的向量，记作 \(\vec{0}\)。

二、向量运算

- 加法与减法：

- 向量加法：\(\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2, y_1+y_2)\) 或 \((x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)\)

- 向量减法：\(\vec{a} - \vec{b} = (x_1-x_2, y_1-y_2)\) 或 \((x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2)\)

- 数乘：\(k\vec{a} = (kx, ky)\) 或 \((kx, ky, kz)\)，其中 \(k\) 是一个实数。

三、向量的长度（模）

- 向量 \(\vec{a}\) 的长度（或模）计算公式为：\(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) 或 \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\)

四、向量的方向角与方向余弦

- 方向角是指向量与坐标轴正方向之间的夹角。

- 方向余弦是向量的方向角的余弦值。设向量 \(\vec{a}\) 与 x 轴、y 轴、z 轴的夹角分别为 \(\alpha, \beta, \gamma\)，则有：

- \(cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}\)

- \(cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}\)

- \(cos\gamma = \frac{z}{|\vec{a}|}\)

五、点积（内积）

- 点积公式：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2\) 或 \(x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)

- 点积的几何意义：两向量之间的夹角余弦值与它们长度的乘积。

六、向量积（外积）

- 向量积公式：\(\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 - y_2z_1, z_1x_2 - z_2x_1, x_1y_2 - x_2y_1)\)

- 向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量，并遵循右手定则。

这些公式构成了高中数学中向量部分的基础，理解和熟练运用这些公式对于解决相关的数学问题和物理问题都至关重要。希望这些内容能帮助你更好地掌握向量知识。